Number Theoretic Functions

2023年应邀为新生(和部分大二学生)作的有关数论函数和Möbius反演变换的讲解.

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我们主要解决三个历届期末考试中的原题:

• $-\mu(n)\log n \xrightarrow{\mu} \Lambda(n) \xrightarrow{\mu} \log n$;
• 若数论函数 $f, g$ 都是乘性的,则卷积 $f * g$ 也是乘性的;
• Selberg公式: \[\Lambda(n) \log n=\sum_{d \mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) \log ^2 d-\sum_{d \mid n} \Lambda(d) \Lambda\left(\frac{n}{d}\right).\]

定义在 $\mathbb{N}_{+}$ 上的复值函数是数论函数; 加性, 乘性分别定义为保互素对的加法和乘法.

Eg. Möbius 函数: \(\mu(n) = \begin{cases} 1 & n=1 \\ 0 & n=p^2 m \\ (-1)^k & n=p_1p_2\cdots p_k \end{cases}\)

Eg. Von mangoldt函数: \(\Lambda(n)= \begin{cases} \log p & n=p^v \\ 0 & n \neq p^v \end{cases}\)

Thm. ( $\mathbb{N}$ -Möbius变换) 对数论函数 $f$ 和 $g$, 则 \[g(n)=\displaystyle\sum_{d \mid n} f(d) \iff f(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d) g\left(\frac{n}{d}\right).\] 此时 $g(n)$ 称作 $f(n)$ 的Möbius变换, 一般记作 $f \xrightarrow{\mu} g$.

Prop. 我们有 $-\mu(n)\log n \xrightarrow{\mu} \Lambda(n) \xrightarrow{\mu} \log n$.

Proof. 证明后者.设 $n$ 的标准分解式为 $p_1^{l_1} \cdots p_r^{l_r}$,则有

\begin{align*} \sum_{d \mid n} \Lambda(d) & =\sum_{k_1=0}^{l_1} \Lambda\left(p_1^{k_1}\right)+\cdots+\sum_{k_r=0}^{l_r} \Lambda\left(p_r^{k_r}\right) \\ & =\sum_{k_1=0}^{l_1} \log p_1+\cdots+\sum_{k_r=0}^{l_r} \log p_r \\ & =l_1 \log p_1+\cdots+l_r \log p_r=\log n. \end{align*}

前者代入M"obius逆变换即可.

Thm. ($\mathbb{N}$-Möbius变换) 对数论函数 $f$ 和 $g$, $g=f * 1 \iff f=g * \mu$.

Proof.

• $\Rightarrow$: $g * \mu=f * 1 * \mu=f * (\mu * 1)=f * I=f$;
• $\Leftarrow$: $f * 1=g * \mu * 1=g * (\mu * 1)=g * I=g$.

Thm. 若数论函数 $f, g$ 都乘性, 则 $f * g$ 也乘性; 若数论函数 $f, g$ 满足 $g$ 和 $h=f * g$ 都乘性, 则 $f$ 也乘性.

Proof. 证明前者. 将 $d$ 也写作乘积. 考虑 $\displaystyle h(m n)=\sum_{d \mid m n} f(d) g\left(\frac{m n}{d}\right)$, $m,n$ 互素; 令 $a=\gcd(m,d)$, $b=\gcd(n,d)$, 则 $d=ab$.于是代入计算,

\begin{align*} h(m n) & =\sum\limits_{a|m, b| n} f(a b) g\left(\frac{m n}{a b}\right)=\sum\limits_{a|m, b| n} f(a) f(b) g\left(\frac{m}{a}\right) g\left(\frac{n}{b}\right) \\ & =\left(\sum\limits_{a \mid m} f(a) g\left(\frac{m}{a}\right)\right)\left(\sum\limits_{b \mid n} f(b) g\left(\frac{n}{b}\right)\right)=h(m) h(n). \end{align*}

定义数论函数 $f$ 的导数为 $f’(n)=f(n) \log(n)$.

Thm. (Selberg公式) \[\sum_{n \le x}\Lambda(n)\log x+\sum_{n \leq x} \Lambda(n) \psi\left(\frac{x}{n}\right)=2 x \log x+O(x),\] 我们考虑其初等形式 \[\Lambda(n) \log n=\sum_{d \mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) \log ^2 d-\sum_{d \mid n} \Lambda(d) \Lambda\left(\frac{n}{d}\right).\]

Proof. 对$\zeta$函数的Euler乘积导数和对数, \[\zeta^{\prime}(s)=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^s}=-D(\log,s),\] \[\frac{\zeta^{\prime}}{\zeta}(s)=-\sum_p \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{p^{s n}}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}=-D(\Lambda,s).\]

由此及乘积性质可以建立 Von mangoldt 函数与自然对数间的 Möbius 变换关系,求导, \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \frac{\zeta^{\prime}}{\zeta}(s)=\frac{\zeta^{\prime \prime}}{\zeta}(s)-\left(\frac{\zeta^{\prime}}{\zeta}(s)\right)^2=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n) \log n}{n^s}=D(\Lambda \cdot \log,s),\] 于是直接考虑级数分解 \[D(\Lambda \cdot \log,s)=D\left(\log ^2,s\right) D(\mu,s)-D^2(\Lambda,s)=D\left(\log ^2 \circ \mu-\Lambda \circ \Lambda,s\right)\] 即证.