Iwaniec: Introduction to Analytic Number Theory

这是Iwaniec解析数论一书的引言 Introduction 部分的翻译. 欢迎各位指正!

这书写的极其现代(感觉作者把他会的东西都扔进去了), 内容也极其多. 但是引言部分可以作为很好的现代解析数论梗概. 笔者所获颇丰, 故此将其转译为中文发上来. 我将此书, 二潘的解析数论和黎景辉的代数数论共同作为数论的字典与资料使用, 尽管我此时还在苦苦学习Tate’s Thesis.

这篇文章也有如下的知乎链接: Iwaniec: 解析数论介绍.

解析数论以其用于建立结果的各种工具而独树一帜，其中许多工具属于算术的主流。它既不从属于分析，也不是任何特定的数学学科，但它确实与各个领域相互作用。因此，每个人似乎对这个主题的看法都不同。解析数论概念的多样性是它的巨大吸引力。我们希望在这本书中展示该理论的丰富性和前景，以及其迷人的定理和强大的技术。然而，我们的主要目标并不是给出最强的结果，尽管在很多情况下我们确实接近了最佳可能的结果。相反，我们更倾向于在清晰度、完整性和一般性之间保持合理的平衡。本书是为研究生构思的，因此读者将发现我们的重点在于强调论证的推理过程。当然，我们的表述是主观的，可能随着时间的推移而失去它的意义。当然，我们并不总是遵循发现的原初路线，但有时我们会简要回顾历史背景。

Leonard Euler 因首次使用解析论证来研究整数性质而受到赞誉，特别是通过构造生成幂级数。欧拉对素数无穷性的证明利用了 $\zeta$ 函数的收敛性以及以他的名字命名的素数的相应乘积。这是解析数论的开端。接下来是 P.G.L. Dirichlet，他创建了特征的 $L$ 函数理论，从而证明了算术级数中素数的无穷性，这使他成为解析数论的真正之父。从早期到现代，素数的分布构成了该主题的核心。这将在我们书中体现出来。前两章涵盖了素数问题，直到 P. Tchebychev 的基本方法。

第 3 章提供了 Dirichlet 特征和 Gauss 和的定义和基本性质。同时，我们还介绍了虚二次域理想的特征，这不仅是因为它们在后续章节中起着支撑作用，更重要的是为了展示解析数论在传统有理整数之外的某些内容；全书还会有其他例子，例如椭圆曲线。

Poisson 求和之于数论，就好比汽车之于现代社会——它将物品从一个地方转移到另一个地方，下次使用时再将ni 你送回家——没有它，生活就无法继续。第 4 章介绍了这项基本技术的经典描述。许多读者可能意识到，其他人稍后会明白，我们在讨论与模形式相关的想法。然而，在我们考虑模形式之前，我们继续沿着传统路线（包括经典和更现代的路线）进行考虑。

第 5 章中，B. Riemann 关于 $\zeta$ 函数的著名回忆录被嵌入到抽象 $L$ 函数的背景下。我们不会以比必要更一般的方式考虑，因此定义一类符合我们即将付诸应用的最低要求的 $L$ 函数并不容易。因此通过这种方式，我们能够向致力于研究的读者传达如下信息：一般的并不总是（在研究中）直接能被应用的。例如，要考虑次数大于1的 $L$ 函数的非零区域，不能依赖与 Dirichlet $L$ 函数相同的原理。这里的核心是 Rankin-Selberg 卷积。另一方面，对于许多次数大于1的自守 $L$ 函数，例外零点问题已经得到解决（并非没有巧妙的构造），而对于具有实特征的 $L$ 函数，它仍然悬而未决。此外，我们在第 5 章传达了一个信息，即自守形式的世界中存在比在次数为1的 $L$ 函数的世界中更优美的生活（性质与结构）。

解析数论并不意味着非初等。第一位作者（Iwaniec）回忆说，他第一次认真接触解析数论是从阅读 A.O. Gelfond 和 Yu.V. Linnik 的《解析数论初等方法》开始的。当一个雄心勃勃的初学者从那里开始，他对这个主题的热爱从此永存。自己试试吧！人们会立刻被筛法所吸引。在这本书中，我们没有足够的篇幅来公正地阐述这个奇妙的想法，但第 6 章应该足以满足基本应用。

接下来是“大筛法”，它不是一个筛法，而是某些其他东西的名称。是的，它确实起源于 Linnik 关于筛法问题的一篇短文，但我们需要时间才能认识到这些想法的真正本质。在第 7 章中，我们揭示了我们的观点和核心属性（谱完备、正交性），然后我们展示了大筛法对选定的新旧问题的惊人威力。大筛法的其他特征也被仔细审视，展示了其优点和缺点。例如，使用对偶原理的方法对于一次调和（特征）很有效，而对于较大次数的调和（例如 Hecke 算子的特征值）则产生较差的结果。关于大筛法的适当位置的争议是学术性的。简单地说，大筛不等式是双线性型理论的一部分。

指数和的估计是第一个深入研究自然结构之外的解析数论问题的工具。仅靠调和分析无法掌握这些问题。看看人们如何巧妙地利用了移位区间是另一个区间的属性，即将一个整数添加到整数集合中会再次产生一个整数集合（但这里素数没有被保留）。我们挑战代数学家，找到一个结构性的解释这些论证的力量。他们应该阅读第 8 章来找到 H. Weyl 从这些观察中构建了什么。Van der Corput 和 Vinogradov 也是该学科早期的主要人物。我们在介绍 Vinogradov 的方法时进行了大量的工作和讨论，因为它在许多出版物中没有得到非常正确的解释。在某些时候，Vinogradov 偏离了 Weyl 差分过程，将多维指数和视为双线性型（无论如何，这是我们的想法）。

接下来的两章展示了最新的技术，这些技术是为了在素数分布的应用中取代（尚未经证实）的黎曼假设而开发的。我们是在讨论与临界线正距离的垂直带中 $L$ 函数的零点数量的估计。希望将来有人会说我们在研究空集上浪费了时间。伟大的想法以巨大的复杂性伪装在这些论证中，因此最初可能不太吸引人。但是如果你认为黎曼假设在你的有生之年无法证明，请阅读并欣赏这些无条件的替代品。特别感谢 Hugh Montgomery、Martin Huxley 和 Matti Jutila 做出的最具原创性的贡献。

尽管我们的主要兴趣在于有理整数，但仍可以从其他领域的算术中学到很多东西并受益：这些内容不仅来源于数域或 $p$ -adic 域中，还间接地从有限特征域中发展。有限域上的指数和方法尤其富有成效。在第 11 章中，我们证明了（除某些外）特殊曲线的黎曼假设，这产生了 Weil 对 Kloosterman 和的著名估计。自 1926 年诞生以来，Kloosterman 和就被用于解决各种解析数论问题。我们还简要提到了代数簇上的指数和特征和的一些性态。这些应用更难实现，但文献中有一些例子。我不得不痛苦的决定，本书将除了最简单的理论之外的所有内容排除在介绍之外。否则，为了充分体现这些高度复杂的想法，我们将不得不选择最复杂的应用，而我们没有足够的空间来介绍它们。可以说，对给定的解析数论问题的特征和估计大概已经是该领域自身最先进的状态，请读者不必担心最后的论证是由代数几何的外力推动的。

Dirichlet 特征已在第 3 章中讨论过，我们将在第 12 章中再次讨论它们，以处理非常短的特征和。同样，人们必须有创造力才能突破自然结构的限制。Burgess 定理就是一个很好的例子。

下一章将讨论素数的和。Vinogradov 成功地估算了加法特征的素数和，这是为了结合圆法解决三重哥德巴赫猜想而必需的他需要用这个和来结合圆法解决三元哥德巴赫问题，这无疑是一个惊人的结果。在他之前，大黎曼假设(GRH)可以完成这项工作，但请记住，黎曼假设至今仍未得到证实。Vinogradov 的原始想法借鉴自组合筛法，相当复杂。最近发展起来的恒等式为更一般的素数和提供了更简单的处理。由于它们共享相同的基本原理（将和式化为双线性型），结果近乎完全相同，因此选择哪种方法只是取决于个人品味和技术便利性。为了捕获第 13 章中的关键元要素，我们发展了多个恒等式。

解析数论的一个流行标准是使用复分析，也许说是调和分析更好，因为后者的作用更为深刻。长期以来，解析数论完全在经典的 Abel 调和分析中发展，即从 $\mathbb{R}^n$ 中的 Fourier 变换中开始。这种经典分析仍有很大的潜力有待开发。然而，近年来，更强大的肥料开始作用于解析数论的土壤。这些是自守函数。当然，模形式已经驱动了数论中代数方面的长期发展，但范围有限（局限于全纯形式）。自守理论的新想法是在谱分析中发现的，该分析的基础由 H. Maass 和 A. Selberg 在 20 世纪 40 年代之交开创（实解析尖点形式、艾森斯坦级数、迹公式）。简而言之，非 Abel 调和分析在解析数论中发挥了作用。真正有效地将谱方法扩展到分析数论的是大约二十五年前（1978年前后）的事情，从而不可逆转地改变了这两个学科的面貌。本书在第 14、15 和 16 章中几乎没有涉及新方向的有趣问题。我们重点介绍的应用是 Kloosterman 和的和的估计。这是一个不错的选择（如果不能容纳更多内容），因为读者可以借此比较第 11 章中通过代数考虑得出的旧结果。第 21 章介绍了自守形式的谱理论在算术问题中的另一种应用，即素数模二次同余根的均匀分布。谱理论继续广泛发展，因此在这里或任何其他书中结束它都为时过早。如需进一步阅读，我们推荐 [I3] 和 [Sa3] 。

尽管自守形式的谱方法在当前解析数论研究中占主导地位，但传统问题在其余章节中仍然受到我们的高度重视。伟大的数论宝藏不能埋藏在过去。首先，新手应该学习大模算术级数中素数的问题。在第 17 章中，他将发现 E. Bombieri 和 A.I. Vinogradov 如何绕过黎曼假设，通过大筛法和其他方法得到能与从黎曼假设本身得到的相媲美的无条件结果。当然，我们的论证与原始论证（1965 年）并不完全相同，因为我们利用了后面的理论进行简化，这在很大程度上要归功于 P.X. Gallagher。

在第 18 章中，我们将进一步追溯到1944年，当时 Linnik 给出了一个关于算术级数中最小质数的非凡上界。很长一段时间以来，这个上界被认为是解析数论中最难的定理。是的，按照今天的标准，它仍然很难，人们仍然可以从所应用的技术中学到很多东西。面对例外零点的障碍，Linnik 将排斥效应（他称之为 Deuring-Heilbronn 现象）提升到了一个新的水平；令人惊讶的是，他将这个问题转化为自己的优势！这是解析数论历史上一个令人着迷的发展，我们强烈推荐人们掌握它，以便更好地理解当前关于例外零点的状况。

曾几何时，著名的 Goldbach 问题价值百万美元。对于应用来说，这个问题（用两个素数之和表示偶数）并没有什么特别之处，但作为智力挑战，破解它是一件值得骄傲的事情。到那时，也许会揭示一些关于素数的新东西。阅读第 19 章可以提高你获胜的机会。

第 20 章是严肃的。在这里，分析方法冲击原自古希腊的本来被人们认为是纯粹算术的领域—— Diophantine 方程。从 Hardy-Ramanujan、Hardy-Littlewood 到 Kloosterman，圆法不断发展，利用加法特征的正交性来检查方程，不仅可以解决代数方程，还可以解决一大类特殊的整数上的加性问题。最难的是二元加性问题。它们不能完全用圆法解决，但至少我们得到了关于真实渐近解数目的非常可靠的结果。我们在前几章中介绍的 Kloosterman 是圆法的关键。在经典思想之后，我们提出了一种更直接的变体，原则上应该产生相同的结果，但不使用 Kloosterman 和。你应该以开放的心态阅读第 20 章，将技术（仍然有吸引力）元素与概念结论分开，以便清楚地看到其与模形式的联系。Kloosterman 和 Rademacher 肯定意识到了这些内在联系，而这些联系却被一些圆法专家忽视了。

特殊整数序列的均匀分布问题、各种域中的格点、丢番图方程的解等构成了解析数论的一个庞大产业。我们很遗憾本书没有空间来全面介绍这些。M.N. Huxley的书 [Hu4] 只处理了格点问题，但讲得相当深入。在第 21 章中，我们处理的是模素数约化的二次同余方程根的分布问题。当素数模趋于无穷大时，我们证明了根是均匀分布的。这个论证几乎囊括了我们迄今为止在书中介绍的所有内容，从而表明该系统是稳健的。

由于代数整数无法唯一分解因式，数域的算术并不像有理数那么简单，有时甚至令人困惑。复杂性通过理想类群的阶来衡量。自然，虚二次域的情况首先且最受到关注，因为单位不会干扰其。我们知道类数会趋于无穷大（因此只有有限个虚二次域有类数固定），但关键问题是如何有效地估计类数。第 22 章详细介绍了这个问题，并为第 23 章的进展做好了准备。类数的有效下界（归功于 D. Goldfeld）对于要求严格的研究人员来说可能看起来并不强，但与从其他来源获得的结果相比，它已经很深入了。首先，它使用了中心点处椭圆曲线的 $L$ 函数的 Gross-Zagier 公式。我们对椭圆曲线所涉及的论证进行了实质性概述，尽管这些论证更多的是几何的而不是解析的。解析论证本身非常微妙，实际上它是先出现的，椭圆曲线的 $L$ 函数是补充。我们计算出了类数的有效下限，它取决于二阶一般 $L$ 函数的消没阶，我们怀疑其中相当一部分满足要求。

在第 24 章中，我们证明了 Selberg 的一个非常经典的结果，即 Riemann $\zeta$ 函数的零点的正比例位于临界线上。这是了解平滑技术（一种光滑理论）的好地方，该技术在当今的许多作品中都有使用，并将在第 26 章中再次出现。

1974 年，H.L. Montgomery 在承认黎曼假设的前提下揭示了 $\zeta(s)$ 的零点分布遵循某些单位矩阵集合的特征值。最近，物理学家加入了数论研究团队，为找到证明黎曼假设的途径带来了新的兴奋和希望。这就是所谓的随机矩阵理论的主要目标，它是当前解析数论最受欢迎的主题和推动力量之一。它为预测长期被谜团笼罩的算术量提供了可靠模型。随机矩阵理论与整数的和谐仍然令人惊讶。无论这项事业的未来如何，由于目前的合作，分析与算术的联系比以往任何时候都要紧密。如此规模的课题无法在短时间内完全呈现。因此，在第 25 章中，我们坚持原来的主题，即 $\zeta(s)$ 的零点相关性及其在中心点附近的自守的 $L$ 函数族的零点变化的关系。至于随机矩阵理论的思想是否在攻克 Riemann 假设方面现实，读者可以自行判断。

在最近的研究中， $L$ 函数的中心值出现在各种具有零或非零假设的公式中。以 [IS2] 为例，其中虚二次域类数的有效下界本质上是从 $L$ 函数族的中心值不为零推导出来的，这与之前研究中的零值要求相反。另一个例子是 T. Watson 的公式[Wa] ，该公式将量子遍历性猜想（即 Maass 尖点形式的均匀分布）简化为某些四次 $L$ 函数的亚凸性界。我们详细考虑了一个应用于算术几何的非零陈述。

我们希望本书能以丰富的色彩展示解析数论的蓝图。然而，我们必须说，许多重要的主题被遗漏了。缺少的是色散法、放大法（参见 [M2] ）、一些来自丢番图近似和超越数的分析技术。此外，概率论证几乎没有涉及，我们也没有涉及遍历理论，尽管它在过去几年对数论的影响非常强烈。

我们还试图展示一些正在发展成为解析数论最有用的新工具的强大理论的细节，特别是高阶自守形式及其 $L$ 函数理论和代数几何；我们特别应该鼓励年轻的研究人员发展这些学科的专业知识。可以肯定的是，对那些了解这两方面的研究者来说，伟大的应用才刚刚开始。对偶地，算术几何和代数数论也提供了大量新问题或旧问题的新方面，解析数论的技术和方法由此得到最大程度的测试。希望它们能为那些试图进入这些开放领域的人带来丰厚的回报。我们几乎没有提到一些与椭圆曲线相关的问题，但我们相信还有更多的东西有待发现。Lang 和 Trotter 的猜想 [LT] 已经很流行了，在 [Ko1] 中还可以找到其他一些具有挑战性的问题。

每个部分内的练习都有双重目的：一些是为了提高读者的技能，另一些则作为有关该主题的附加信息。历史方面的信息很简短，即只停留在为事情的发展提供了一些方向，而不是详尽地赞扬发明者。我们给新研究人员的唯一建议是阅读许多有完整证明的论文。了解解析数论的结果只是喜欢它的第一步；更重要和更有意义的是理解其证明的论据。我们的观点是，数学不应该被评价为打破体育记录。有时最强的结果很无聊，而稍弱的结果却能带来极大的乐趣。

本书大部分内容的正式先决条件相当少，仅涉及微分学、复分析和积分，尤其是 Fourier 级数和积分。对于读者来说，更重要的是掌握或掌握如何操作不等式，而不是简单的恒等式。

在后面的章节中，自守形式变得很重要。我们已添加了两章综述，但我们预计许多读者已经对这个重要主题有所了解，或将独立研究它。

在某些章节（例如，第 5.13 和 5.14 节）中，我们旨在为在文献中难以以适当形式找到的某些事实和结果提供方便的参考，我们假设读者对其他主题有一定的熟悉，例如群的表示和代数几何。

本书的部分内容是在一段较长时间内编写的，因此读者会注意到风格和重复的细微变化。我们认为少量冗余有助于阅读长篇论证。偶尔，同一对象会在不同的章节中重复，这是为了在特定上下文中以更贴合的术语来介绍。我们认为这种灵活性是合理的，即使以失去独特性为代价，也能让人感到舒适。

在初学者可能不熟悉的几个符号中，我们提到 $p^k | m$ ，其中 $p$ 为素数， $k$ 为整数，表示 $p^k$ 能恰好整除 $m$ ($p^{k+1}$ 不能整除 $m$) 。Gauss 取整函数 $\lfloor x \rfloor$ 。

我们有时使用符号 $\sum^{\star}$ 来表示限制在本原对象子集的总和，在每种情况下都会指出，并使用 $\sum^{\flat}$ 来表示限制在无平方数的子集的总和。

关于参考书遵循了 Iwaniec 的原书.